ESTRUCTURAS DISCRETAS : FUNCIONES

FUNCIONES

Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto.

Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta.

Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.

El elemento x del primer conjunto es la variable independiente. Es un valor que se fija previamente.

La letra y es la variable dependiente y corresponde a los elementos del conjunto final. Ésta variable depende del valor de la variable independiente x.

A f(x) se le denomina imagen de x, mientras que a x se le llama antiimagen de f(x).

¿Qué no es una función?

Si a un valor de la variable x le corresponde más de un valor de y, entonces esa relación no es una función.

Un ejemplo de lo que no es una función es cuando asignamos al conjunto de entrada las estaturas y al de salida, los alumnos un colegio. Esta relación no sería una función, pues podrían haber casos de valores de estaturas que tuviesen varios alumnos.

Otro ejemplo de lo que no sería una función: la ecuación de la elipse (para simplificar, centrada en el origen O).

Y sabemos que la ecuación de la elipse centrada en O es:

Por la imagen y por la ecuación, podemos ver que a valores concretos de x les corresponden dos valores de y. Por lo tanto, esta ecuación tampoco se corresponde con una función.

Como se ha dicho que la condición de una función es que a cada elemento del conjunto inicial X le corresponda, un y solo un elemento del conjunto final Y, de eso se deduce que:

Toda relación no tiene porqué ser necesariamente una función, aunque toda función sí que es una relación.
Por lo tanto, una ecuación (que es una relación) no tiene que ser necesariamente una función.

Ejercicio

ANUNCIOS

Por ejemplo, una función podría ser hacer corresponder a cada número x el doble de dicho número (2x).

Dominio de la función

El dominio de una función f es el subconjunto Dom f (o D) de elementos que tienen imagen. Es decir, el conjunto de elementos x de la variable independiente X que tienen imagen en Y. También se le llama campo de existencia de la función.

Recorrido de la función

El recorrido de una función f es el conjunto Im f (o Rec f) de todos los elementos que toma la variable dependiente. Es decir, el conjunto de todas las imágenes que se obtienen realmente a partir de la función f.

También se le llama rango de una función o conjunto de llegada.

El codominio es el conjunto de valores sobre los que se ha definido la función f, aunque no todos los elementos del codominio sean necesariamente imágenes (es decir, que pertenezcan necesariamente al rango de f).

Formalmente se define el recorrido de una función como:

Las funciones en que el recorrido de la función Im f es el mismo que el conjunto final Y son funciones sobreyectivas.

Crecimiento y decrecimiento

La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.

El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.

Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Continuidad y discontinuidad

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función: